Доклады АМАН. Т. 25, № 4. С. 14–20.
Читать статью Содержание выпуска
DOI: https://doi.org/10.47928/1726-9946-2025-25-4-14-20
EDN: HTXCYF
МАТЕМАТИКА
| УДК 517.95 | Научная статья |
Задача сопряжения двух уравнений третьего порядка гиперболического типа
Макаова Рузанна Хасанбиевна
младший научный сотрудник отдела Уравнений смешанного типа Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (360000, Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, ул. Шортанова 89А), ORCID https://orcid.org/0000-0003-4095-2332, makaova.ruzanna@mail.ru
Аннотация. В смешанной прямоугольной области исследуется задача сопряжения двух уравнений гиперболического типа третьего порядка. В положительной части области рассматриваемое уравнение совпадает с уравнением Аллера, а в отрицательной части – с модельным уравнением третьего порядка. Задача заключается в нахождении регулярного решения рассматриваемого уравнения, когда на положительной части границы области заданы смешанные граничные условия, а в отрицательной части заданы условия Коши на одной из характеристик. Доказана теорема о существовании единственного регулярного решения исследуемой задачи в смешанной области. Для доказательства однозначной разрешимости задачи используется метод Трикоми, согласно которому получены соответствующие фундаментальные соотношения между следами искомого решения и его производной, перенесенные из положительной и отрицательной частей смешанной области на линию сопряжения. Из полученных фундаментальных соотношений, в результате исключения одного из искомых функций, приходим к смешанной краевой задаче для неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка относительно второй искомой функции – следа производной искомого решения, решение которой найдено и выписано в явном виде. Тогда и решение исследуемой задачи выписывается в явном виде как решение смешанной краевой задачи для уравнения Аллера в положительной части смешанной области и как решение задачи Дарбу для модельного уравнения гиперболического типа третьего порядка в отрицательной части. В работе также найдены достаточные условия на заданные функции, обеспечивающие регулярность полученных решений исследуемой задачи.
Ключевые слова: модельное гиперболическое уравнение третьего порядка, уравнение Аллера, краевая задача, метод Трикоми.
Финансирование. Работа выполнена в рамках гос. задания Минобрнауки РФ по проекту: Краевые задачи и задачи оптимального управления для локальных и нелокальных уравнений математической физики (1024031200120-2).
Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать
Для цитирования. Макаова Р. Х. Задача сопряжения двух уравнений третьего порядка гиперболического типа // Доклады АМАН. 2025. Т. 25, № 4. С. 14–20. DOI: https://doi.org/10.47928/ 1726-9946-2025-25-4-14-20; EDN: HTXCYF
Поступила 29.10.2025; одобрена после рецензирования 26.11.2025; принята к публикации 01.12.2025.
© Макаова Р. Х., 2025
Список использованных источников
1. Hallaire M. Potential efficace de l’eau dans le sol en regime de dessechement // Assemblee generale de Berkeley-General Assembly of Berkeley, Publ. (Gentbrugge). 1963. No. 62. Pp. 114–122.
2. Showalter R. E., Ting T. W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. Vol. 1, No. 1. Pp. 1–26.
3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
4. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.
5. Баренблатт Г. И., Желтов И. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ПММ. 1960.Т. 24, № 5. С. 852–864.
6. Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J. Instability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation ut = uxx uxtx on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. Vol. 19, No. 2. Pp. 100–116.
7. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Differ. Equations. 1972. Vol. 12, No. 3. Pp. 559–565.
8. Yangarber V. A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1967. Vol. 8, No. 1. Pp. 62–64.
9. Kozhanov A. I. On a Nonlocal Boundary Value Problem with Variable Coefficients for the Heat Equation and the Aller Equation // Differ. Equ. 2004. Vol. 40, No. 6. Pp. 815–826.
10. Макаова Р. Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана–Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17, № 3. С. 35–38.
11. Макаова Р. Х. Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана – Лиувилля // Вестник АГУ. Серия 4: Естественноматематические и технические науки. 2017. № 4(211). С. 36–41.
12. Балкизов Ж. А. Локальные краевые задачи для модельного уравнения третьего порядка гиперболического типа // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2022. № 5 (109). С. 11–18. DOI: 10.35330/1991-6639-2022-5-109-11-18
13. Балкизов Ж. А., Макаова Р. Х. Краевая задача для одного смешанно-гиперболического уравнения третьего порядка // Вестник Дагестанского государственного университета. Серия 1: Естественные науки. 2022. Т. 37, № 3. С. 19–24. DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-3-19-24
14. Макаова Р. Х. Об одной задаче сопряжения двух гиперболических уравнений третьего порядка // Доклады АМАН. 2024. Т. 24, № 4. С. 55–61. DOI: https://doi.org/10.47928/1726-9946-2024-24-4-55-61; EDN: ZVUGLU
15. Макаова Р. Х. Смешанная задача для неоднородного уравнения Аллера // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2021. Т. 21, № 4. С. 18–21. DOI: 10.47928/1726-9946-2021-21-4-18-21
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.